设方程组AX=β有解但不唯一, (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

admin2016-10-24 63

问题设

方程组AX=β有解但不唯一,
(1)求a；
(2)求可逆矩阵P，使得P^一1AP为对角阵；
(3)求正交阵Q，使得Q^TAQ为对角阵．

选项

答案(1)因为方程组AX=β有解但不唯一，所以|A|=0，从而a=一2或a=1．当a=一2时， [*]=2＜3，方程组有无穷多解；当a=1时， [*] 方程组无解，故a=一2． (2)由|λE一A|=λ(λ+3)(λ一3)=0得λ₁=0，λ₂=3，λ₃=一3．由(0E一A)X=0得λ₁=0对应的线性无关的特征向量为ξ₁=[*] 由(3E一A)X=0得λ₂=3对应的线性无关的特征向量为ξ₂=[*] 由(一3E一A)X=0得λ₃=一3对应的线性无关的特征向量为ξ₃=[*] [*]

解析

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考研数学三

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