2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p1＝(﹣1，2，﹣1)T，p2＝(0，﹣1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得QTAQ＝A．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p1＝(﹣1，2，﹣1)T，p2＝(0，﹣1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得QTAQ＝A．

admin2020-06-05  83
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p1＝(﹣1，2，﹣1)T，p2＝(0，﹣1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得QTAQ＝A．
选项
答案(1)因为p1，p1是线性方程组Ax＝0的两个解，所以p1，p2是A的对应于特征值λ1＝λ2＝0的特征向量．又因为3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，所以A有一个特征值λ3＝3，其对应的特征向量p3＝(1，1，1)T．故而矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝3．同时λ1＝λ2＝0对应的特征向量为c1p1+c2p2(c1，c2不全为零)；注意到矩阵A的各行元素之和均为3，故矩阵A的属于λ3＝3的特征向量为c3p3＝c3(1，1，1)T(c3≠0)． (2)将p1，p2正交化得 β1＝p1，β2＝[*] 再将β1，β2，p3单位化，得 [*] 令 Q＝(q1，q2，q3)＝[*] 则 QTAQ＝[*]＝diag(0，0，3)
解析
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考研数学一

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