函数y=C1ex+C22e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．

admin2013-10-11 23

问题函数y=C₁e^x+C₂2e^-2x+xe^x满足的一个微分方程是( )．

选项 A、y^’’-y^’-2y=3xe^x
B、y^’’-y^’-2y=3e^x
C、y^’’+y^’-2y=3xe^x
D、y^’’+y^’-2y=3e^x

答案D

解析依题意，y=Ce^x+C₂e^-2x+xe^x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解．
相应的齐次方程的特征根是λ₁=1，λ₂=-2，特征方程应是(λ-1)(λ+2)=0，所以相应的齐次方程为y^’’+y^’-2y=0，在(D)中，方程y^’’+y^’-2y=3e^x有形如y^*=Axe^x的特解(e^ax中a=1是单特征根)．通过验证知，y^*=Axe^x是y^’’+y^’-2y=3e^x的特解，所以选(D)．

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