2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩R(A)=2． (1)求A的全部特征值． (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩R(A)=2． (1)求A的全部特征值． (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

admin2020-09-25  106
问题 设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩R(A)=2．
  (1)求A的全部特征值．
  (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案(1)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα，A2α=λ2α，于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α．由条件A2+2A=O推知(λ2+2λ)α=0． 又由于α≠0，故有λ2+2λ=0，解得λ=一2，λ=0． 因为实对称矩阵A必可对角化，且R(A)=2，所以A～[*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ1=λ2=一2，λ3=0． (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由(1)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k． 于是，当k＞2时矩阵A+kE的全部特征值大于零．因此，矩阵A+kE为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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