设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2021-08-05 56

问题设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0．
(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)e^cosx的通解；
(2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

选项

答案(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e^∫sinxdx[∫ψ(x)e^cosxe^∫sinxdxdx+C]=e^cosx[∫ψ(x)e^cosx·e^—cosxdx+C] =e^cosx[∫ψ(x)dx+C]—e^cosx[φ(x)+C](C为任意常数) (2)因通解中e^cosx是以2π为周期的函数，故只需φ(x+2π)即可．因为φ’(x)=ψ(x)，所以φ(x)=∫₀^xψ(t)dt+C₁．又φ(0)=0，于是φ(x)一∫₀^xψ(t)dt．而 φ(x+2π)=∫₀^x+2πψ(t)dt=∫₀^xψ(t)dt+∫_x^x+2πψ(t)dt=φ(x)+∫₀^2πψ(t)dt，所以，当∫₀^2πψ(t)dt=0时，φ(x+2π)=φ(x)，此时φ(x)以2π为周期．因此，当∫₀^2πψ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．

解析

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考研数学二

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设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

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