2. 考研
  3. 设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵．

设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵．

admin2013-03-04  66
问题 设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵．
选项
答案由于A是实对称矩阵，有 BT=[(kE+A)2]T=[(kE+A)T]2=(k+A)2=B． 即B是实对称矩阵，故B必可相似对角化． 由[*]=λ(λ-2)2 可得到k的特征值是λ1=λ2=2，λ3=0． 那么，kE+A的特征值是k+2，k+2，k，而(kE+A)2的特征值是(k+2)2，(k+2)2，k2． 故[*] 因为矩阵B正定的充分必要条件是特征值全大于0，可见当k≠-2且k≠0时，矩阵B正定．
解析 由于B是实对称矩阵，B必可相似对角化，而对角矩阵A即B的特征值，只要求出B的特征值即知A，又因正定的充分必要条件是特征伉伞大于0，k的取值亦可求出．
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考研数学三

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