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设有幂级数。求: (Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域; (Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。
设有幂级数。求: (Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域; (Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。
admin
2020-08-03
40
问题
设有幂级数
。求:
(Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域;
(Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。
选项
答案
(Ⅰ)[*]故收敛半径为[*]收敛区间为[*] [*] 由于[*]均收敛,则[*]收敛 [*] 由于[*]均收敛,则[*]收敛。故收敛域为[*] (Ⅱ)令[*]则其导函数为 [*] 记 [*] 记 [*] 则[*]逐项求导可得 [*] 两边同时积分,2xS
2
(x)=-2In(1—2x)+C。将x=0代入,可得C=0,故 [*] 当x=0时,S
2
(x)=2,则 [*] 故 [*]
解析
如果
则收敛半径为
求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数,再对和函数求积分或求导,这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ugv4777K
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考研数学一
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