设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1／2)=1，f(1)=0．证明：对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．

admin2018-05-21 23

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1／2)=1，f(1)=0．证明：
对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．

选项

答案设F(x)=e^－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．

解析

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考研数学一

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