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  3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．

设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．

admin2017-10-17  39
问题 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．
选项
答案[*]
解析 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以Z=-2X+3Y+5服从正态分布．要求f(z)=，则需确定参数μ与σ的值．文E(Z)=μ，D(Z)=σ2，因此归结为求E(Z)与D(Z)．根据数学期望和方差的性质及
    E(X)=1，  D(X)=2，  E(Y)=-3，  D(Y)=4，
可得    E(Z)=E(-2X+3Y+5)=-2E(X)+3E(Y)+5
    =(-2)×1+3×(-3)+5=-6，
  D(Z)=D(-2X+3Y+5)=(-2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44．
因此Z的概率密度为
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考研数学三

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