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  3. 设A为n阶矩阵，证明：,其中n≥2.

设A为n阶矩阵，证明：,其中n≥2.

admin2019-09-29  39
问题 设A为n阶矩阵，证明：,其中n≥2.
选项
答案AA*=A*A=∣A∣E. 当r(A)=n时，∣A∣≠0，因为∣A*∣=∣A∣n-1所以∣A*∣≠0，从而r(A*)=n； 当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0,进而Aij≠0,于是A*≠O,故r(A*)≥1,又因为∣A∣=0，所以AA*=∣A∣E=O,根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n,而r(A)=n-1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)=1； 当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A*=O，故r(A*)=0.
解析
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考研数学二

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