(1996年)设f(χ)为连续函数． (1)求初值问题的解y(χ)，其中a是正常数； (2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有｜y(χ)｜≤(1－e－aχ)

admin2019-04-17 67

问题 (1996年)设f(χ)为连续函数．
(1)求初值问题

的解y(χ)，其中a是正常数；
(2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有
｜y(χ)｜≤

(1－e^－aχ)

选项

答案(1)原方程通解是 y(χ)＝e^－aχ[∫f(χ)e^aχdχ＋C] ＝e^－aχ[F(χ)＋C] 其中F(χ)是f(χ)e^aχ的任一原函数，由y(0)＝0得 C＝－F(0)故 y(χ)＝e^－aχ[F(χ)－F(0)]＝e^－aχ∫₀^χe^atf(t)dt (2)｜y(χ)｜≤e^－aχ∫₀^χ｜f(t)｜e^atdt≤ke^aχ∫₀^χe^atdt≤[*]e^－aχ(e^aχ－1) ＝[*](1－e^－aχ) ，χ≥0

解析

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考研数学二

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