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针对“二项式定理”的教学，教师制定了如下的教学目标： ①掌握二项式定理，能用计数原理推导二项式定理； ②经历发现二项式定理的过程。 依据这一教学目标，请完成下列任务： 给出引导学生运用计数原理推导二项式定理的基本步骤。
针对“二项式定理”的教学，教师制定了如下的教学目标： ①掌握二项式定理，能用计数原理推导二项式定理； ②经历发现二项式定理的过程。 依据这一教学目标，请完成下列任务： 给出引导学生运用计数原理推导二项式定理的基本步骤。
admin
2019-07-10
40
问题
针对“二项式定理”的教学，教师制定了如下的教学目标：
①掌握二项式定理，能用计数原理推导二项式定理；
②经历发现二项式定理的过程。
依据这一教学目标，请完成下列任务：
给出引导学生运用计数原理推导二项式定理的基本步骤。
选项
答案
推导二项式定理的基本步骤如下。 ①根据多项式乘法法则，得(a+b)
2
=(a+b)(a+b)=a
2
+2ab+b
2
=C
2
0
a
2
+C
2
1
ab+C
2
2
b
2
。 ②引导学生运用计数原理推导(a+b)
2
=C
2
0
a
2
+C
2
1
ab+C
2
2
b
2
。 推导思路如下：(a+b)
2
是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式中的一项。于是由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)
2
的展开式共有2×2=2
2
项，而且每一项都是a
2－k
×b
k
(k=0，1，2)的形式。对于每一个k(k∈{0，1，2})对应的a
2－k
×b
k
是由2－k个(a+b)中选a，k个(a+b)中选b得到的。由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，a
2－k
×b
k
出现的次数相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数。所以，得到(a+b)
2
=C
2
0
a
2
+C
2
1
ab+C
2
2
b
2
。 ③类比步骤②的推导思路，猜想(a+b)
3
，(a+b)
4
的展开式，并通过多项式乘法对猜想结果进行验证。 ④类比步骤②和步骤③，猜想(a+b)
n
的展开式。 通过上面几个步骤，猜想(a+b)
n
=C
n
0
a
n
+C
n
1
a
n－1
b+…+C
n
k
a
n－k
b
k
+…+C
n
n
b
n
。 ⑤对步骤④猜想的(a+b)
n
的展开式进行验证。 类比步骤②中的推导思路。(a+b)
n
是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式中的一项。于是由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)
n
的展开式共有2
n
项，而且每一项都是a
n－k
×b
k
(k=0，1，…，n)的形式。对于每一个k(k∈{0，1，…，n})对应的a
n－k
×b
k
是由n－k个(a+b)中选a，k个(a+b)中选b得到的。由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，a
n－k
×b
k
出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数C
n
k
。所以，验证了猜想：(a+b)
n
=C
n
0
a
n
+C
n
1
a
n－1
b+…+C
n
k
a
n－k
b
k
+…+C
n
n
b
n
。
解析
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本试题收录于：
数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
数学学科知识与教学能力
教师资格
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