设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．

admin2019-12-26 42

问题设矩阵

已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P^－1AP为对角形矩阵．

选项

答案因为A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，所以A的属于λ=2的线性无关的特征向量必有两个，故r(2E－A)=1．经过初等行变换，得 [*] 解得x=2，y=－2．设A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃，且λ₁=λ₂=2，则tnA=λ₁+λ₂+λ₃=2+2+λ₃=1+4+5=10，得λ₃=6．对于特征值λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，有 [*] 对应的两个线性无关的特征向量为 ξ₁=(1，－1，0)^T，ξ₂=(1，0，1)^T．对于特征值λ₃=6，解齐次线性方程组(6E－A)x=0，有 [*] 对应的特征向量为 ξ₃=(1，－2，3)^T．令可逆矩阵 [*] 则有 [*]

解析

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考研数学三

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