2. 考研
  3. 设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．

设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．

admin2019-12-26  46
问题 设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．
选项
答案因为A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，所以A的属于λ=2的线性无关的特征向量必有两个，故r(2E－A)=1． 经过初等行变换，得 [*] 解得x=2，y=－2． 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，且λ1=λ2=2，则tnA=λ1+λ2+λ3=2+2+λ3=1+4+5=10，得λ3=6． 对于特征值λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，有 [*] 对应的两个线性无关的特征向量为 ξ1=(1，－1，0)T，ξ2=(1，0，1)T． 对于特征值λ3=6，解齐次线性方程组(6E－A)x=0，有 [*] 对应的特征向量为 ξ3=(1，－2，3)T． 令可逆矩阵 [*] 则有 [*]
解析
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考研数学三

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