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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
admin
2021-02-25
71
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,且α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
选项
答案
由Aα
1
=λ
1
α
1
知 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=(λ
5
1
-4λ
3
1
+1)α
1
=-2α
1
, 故α
1
是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 类似,矩阵B的其他两个特征值为λ
5
i
-4λ
3
i
+1(i=2,3).所以B的全部特征值为-2,1,1. 因为A是实对称矩阵,故B也是实对称的.若设(x
1
,x
2
,x
3
)
T
为B的属于特征值1的特征向量,则必有(x
1
,x
2
,x
3
)α
1
=0,即(x
1
,x
2
,x
3
)
T
与α
1
正交.所以有 x
1
-x
2
+x
3
=0, 解此方程得其基础解系为α
2
=(1,1,0)
T
,α
3
=(-1,0,1)
T
.故矩阵B的属于特征值-2的全部特征向量为K
1
α
1
(K
1
为不等于零的任意常数);属于特征值1的全部特征向量为K
2
α
2
+K
3
α
3
(K
2
,K
3
是不全为零的任意常数).
解析
若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式,则f(λ)是f(A)的特征值,且矩阵A的属于λ的特征向量α,也是f(A)的属于f(λ)的特征向量.这是矩阵的重要性质.所以第一问就是以具体的矩阵来验证上述结论.第二问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vZ84777K
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考研数学二
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