2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2021-02-25  49
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案由Aα1=λ1α1知 Bα1=(A5-4A3+E)α1=(λ51-4λ31+1)α1=-2α1， 故α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量． 类似，矩阵B的其他两个特征值为λ5i-4λ3i+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为-2，1，1． 因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有 x1-x2+x3=0， 解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值-2的全部特征向量为K1α1(K1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为K2α2+K3α3(K2，K3是不全为零的任意常数)．
解析 若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式，则f(λ)是f(A)的特征值，且矩阵A的属于λ的特征向量α，也是f(A)的属于f(λ)的特征向量．这是矩阵的重要性质．所以第一问就是以具体的矩阵来验证上述结论．第二问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B．
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考研数学二

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