设f在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)．证明：存在点x0∈[0，a]，使得f(x0)=f(x0+a)．

admin2022-10-31 36

问题设f在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)．证明：存在点x₀∈[0，a]，使得f(x₀)=f(x₀+a)．

选项

答案作辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a)．由f(x)在[0，2a]上连续可知F(x)在[0，a]上也连续．又 F(0)=f(0)-f(a)，F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)．若f(0)=f(a)，则取x₀=0或x₀=a,即有f(x₀)=f(x₀+a)．若f(0)≠f(a)，则F(0)·F(a)＜0．由根的存在性定理知．存在x₀(0，a)，使得F(x₀)=0，即f(x₀)=f(x₀+a)．综上，存在x₀∈[0，a]，使得f(x₀)=f(x₀+a)．

解析

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