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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2
设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2
admin
2018-07-31
59
问题
设向量组α
1
，…，α
r
线性无关，又
β
1
=a
11
α
1
+a
21
α
2
+…+a
r1
α
r
β
2
=a
12
α
1
+a
22
α
2
+…+a
r2
α
r
……
β
r
=a
1r
α
1
+a
2r
α
2
+…+a
rr
α
r
记矩阵A=(a
ij
)
r×r
，证明：β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．
选项
答案
不妨设α
j
及β
j
均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β
1
β
2
… β
r
]=[α
1
α
2
… α
r
]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β
1
β
2
… β
r
]及P=[α
1
α
2
… α
r
]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若X满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r—r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β
1
，…，β
r
线性无关→r[β
1
β
2
… β
r
]=r→r(A)=r→｜A｜≠0．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w5g4777K
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考研数学一
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