2. 考研
  3. 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

admin2019-07-22  47
问题 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
选项
答案令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以[*]，即f"(x)+f(x)=x2， 解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1， 所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2． 原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0， 即d([*]x2y2+2xy-2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为[*]x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C．
解析
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考研数学二

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