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[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣,则( ).
[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣,则( ).
admin
2021-01-19
55
问题
[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣,则( ).
选项
A、x=0是f(x)的极值点,但点(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是f(x)的极值点,但点(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是f(x)的极值点,且点(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是f(x)的极值点,点(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
答案
C
解析
判别分段函数的极值点与拐点,只需讨论x=0的两侧f′(x),f″(x)的符号.
解一 由f(x)=
,知f(x)在x=0处不可导.但x<0时,
f′(x)=(一x+x
2
)′=一l+2x,f″(x)=2;x>0时,f′(x)=(x一x
2
)′=l-2x,
f″(x)=一2.因而f′(x)及f″(x)在x=0的左、右两侧改变符号,故x=0既是f(x)的极值点,点(0,0)也是曲线f(x)的拐点.仅(C)入选.
解二 先作出y=x(1一x)=一x
2
+x=一(x一1/2)
2
+1/4(0≤x≤1)的图形,再对x<0及x>1分别作出y=x(1-x)=一(x一1/2)+1/4取正值的图形,如图1.2.5.7所示.
在x=0附近,函数f(x)左减右增,则f(0)为极小值,且在x=1附近函数f(x)也是左减右增,因而f(1)也为极小值.
又在x=0的左侧,曲线y=f(x)为凹,右侧为凸,故点(0,0)为拐点,且在,x=1的左侧曲线y=f(x)为凸,右侧为凹,故点(1,f(1)=0)也为曲线y=f(x)的拐点.仅(C)入选.
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考研数学二
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