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设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充要条件是|A|≠0.
设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充要条件是|A|≠0.
admin
2020-09-29
38
问题
设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充要条件是|A|≠0.
选项
答案
充分性[*]:因为|A|≠0,所以R(A)=n=R(A,b). 因此,对于任意b,R(A)=n=R(A,b),Ax=b有解. 必要性[*]:(反证法)假设|A|=0,则R(A)<n,设A=[*]则α
1
,α
2
,…,α
n
线性相关,从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表示,不妨设α
n
,可由α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性表示,取b=(0,0,…,0,1)
T
,则(A,b)~[*],即R(A)<R(A,b),所以方程组无解,矛盾.
解析
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考研数学一
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