设A是n阶矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充要条件是|A|≠0．

admin2020-09-29 37

问题设A是n阶矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充要条件是|A|≠0．

选项

答案充分性[*]：因为|A|≠0，所以R(A)=n=R(A，b)．因此，对于任意b，R(A)=n=R(A，b)，Ax=b有解．必要性[*]：(反证法)假设|A|=0，则R(A)＜n，设A=[*]则α₁，α₂，…，α_n线性相关，从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表示，不妨设α_n，可由α₁，α₂，…，α_n-1线性表示，取b=(0，0，…，0，1)^T，则(A，b)～[*]，即R(A)＜R(A，b)，所以方程组无解，矛盾．

解析

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