设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )

admin2019-03-11 48

问题设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^－1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )

选项 A、P^－1α
B、P^Tα
C、Pα
D、(P^－1)^Tα

答案B

解析由条件有A^T=A，Aα=λα，故有
(P^－1AP)^T(P^Tα)=P^TA(P^T)^－1P^Tα=P^TAα=P^Tλα=λ(P^Tα)
因为P^Tα≠0(否则P^Tα=0，两端左乘(P^T)^－1，得α=0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量P^Tα是方阵(P^TAP)^T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确．

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