设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

admin2017-10-23 30

问题设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

选项

答案设抛物线的方程为 y=a(x一1)(x一3)，其中常数a≠0．不妨设a＞0，如图3．13(当a＜0时，其图形与a＞0时的图形关于x轴对称．)． (Ⅰ)此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 S₁=∫₀¹｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫₀¹[(x一2)²一1]dx [*] 此抛物线与x轴围成图形的面积 S₂=∫₁³｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫₁³[1一(x一2)²]dx [*] 从而，由计算结果知S₁=S₂． (11)上述两平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 V₁=π∫₀¹a²(x一1)²(x一3)²dx=πa²∫₁²(t²一1)²dt =[*]πs， V₂=∫₁³a²(x—1)²(x—3)²dx=πa²∫_—1¹(1—t²)²dt=2πa²∫₀¹(1—t²)²dt=[*]πa²．从而，两者体积之比V₁：V₂=19：8．

解析

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考研数学三

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设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

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