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  3. 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是

设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是

admin2018-08-02  65
问题 设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是
选项 A、r(A)=r(B)．
B、｜A｜=｜B｜．
C、A与B有相同的特征多项式．
D、A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．
答案D
解析 当N阶方阵有N个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵．故在选项(D)的条件下．存在适当的可逆矩阵P、Q，使P-1AP=D，Q-1BQ=D，其中D=diag(λ1，λ2，…，λn)为对角矩阵．故有P-1AP=Q-1BQ，QP-1APQ-1=B，→(PQ)-1A(PQ-1)=B，记矩阵M=PQ-1，则M可逆，且使M-1AM=B，所以在选项(D)的条件下，A与B必相似．
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考研数学二

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