“数列”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。” (1

admin2015-06-14 73

问题 “数列”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。”
(1)请设计一道能用等比数列知识解决的实际问题并求解；
(要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思。)
(2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。

选项

答案(1)①创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令官廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢? 问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? (设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。) 师生互动：引导学生写出麦粒总数1+2+2²+2³+……+2⁶³。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。 (设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢?在这个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。) ②师生互动。探究问题在肯定他们的思路后，接着问：1+2+2²+2³+……+2⁶³是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢? 学情预设：探讨1：设S₆₄=1+2+2²+2³+……+2⁶³，记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的2倍) 探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有2S₆₄=2+2²+2³+……2⁶³+2⁶⁴，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现? (设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。) 经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S₆₄=2⁶⁴-1。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢? (设计意图：经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简单了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。) ③故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1．84×10¹⁹粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。 (设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。) ④教学反思对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律：总结规律、应用规律四个阶段。 (2)引导学生将结论一般化，设等比数列{a_n}，首项为a₁，公比为g，如何求前项和S_n?这里，让学生自主完成，井喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 (设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。) 学情预设：在学生推导完成后，再问：由(1-q)S_n=a₁-a₁qⁿ得[*]对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时S_n=?(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后回的例越教学打下基础。) 再次追问：结合等比数列的通项公式a_n=a₁q_n-1，如何把S_n用a₁、a_n、q表示出来?(引导学生得出公式的另一形式) (设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而确有画龙点睛之妙用。)

解析

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