设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

admin2018-11-16 122

问题设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和A^T的特征向量，特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明β^Tα=0；
(Ⅱ)求矩阵βα^T的特征值；
(Ⅲ)判断βα^T是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

选项

答案(Ⅰ)条件说明Aa=a，A^Tβ=2β，β^Ta=β^TAa=(A^Tβ)^Ta=2β^Ta，得β^Ta=0。 (Ⅱ)((βa)^T)²=βa^Tβa^T=(a^Tβ)βa^T，而a^Tβ=(β^Ta)^T=0，于是((βa)^T)²=0，从而βa^T的特征值λ都满足λ²=0，即βa^T的特征值都为。 (Ⅲ)βa^T不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βa^T，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βa^T的特征值，都是0，即是零矩阵。βa^T相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和A^T的特征向量，都不是零向量，因此βa^T不是零矩阵。

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

考研数学三

设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．

设有三个线性无关的特征向量．求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角阵．

设矩阵有一个特征值为3．求y；

设X～U(一1，1)，Y=X2，判断X，Y的独立性与相关性．

设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足|f(x)一2ex≤(x一1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．

设数列{xn}与{yn}满足=0，则下列判断正确的是（）

设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．求S=S(A)的表达式；

求使得不等式在区域D=｜(x，y)｜x＞0，y＞0｜内成立的最小正数A与最大负数B．

设f(x)=的反函数是g(x)，则g(4)=_________．

设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且同分布，P(Xi＝0)＝0．6，P(Xi＝1)＝0．4(i＝1，2，3，4)．求行列式的概率分布．

下列哪项与腧穴按诊无关()(1992年第23题)

某70岁老年男性，不慎从床上摔下，右髋着地。X线片示右股骨颈头下骨折。GardonⅣ型。一般情况可，化验检查基本正常。股骨颈骨折Gardon分型可分为几型

甲公司20×8年度对于购入的生产设备应计提的减值准备为(　　)万元。甲公司20×8年度应确认的递延所得税资产为(　　)万元。

仲裁裁决作出以后，一方当事人不履行的，另一方当事人可向人民法院申请执行。()

根据合伙企业法律制度的规定，合伙企业利润分配的首要依据是()。(2015年)

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关于法的指引作用中，确定性的指引是()

[*]

Sugarlessyoghurtcouldhelpbeatbadbreath,toothdecayandgumdisease,sayscientists.Japaneseresearchersfoundeatingthe

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设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足|f(x)一2ex≤(x一1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．

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下列哪项与腧穴按诊无关()(1992年第23题)

某70岁老年男性，不慎从床上摔下，右髋着地。X线片示右股骨颈头下骨折。GardonⅣ型。一般情况可，化验检查基本正常。股骨颈骨折Gardon分型可分为几型

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