2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

admin2018-11-16  59
问题 设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明βTα=0；
(Ⅱ)求矩阵βαT的特征值；
(Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。
选项
答案(Ⅰ)条件说明Aa=a，ATβ=2β，βTa=βTAa=(ATβ)Ta=2βTa，得βTa=0。 (Ⅱ)((βa)T)2=βaTβaT=(aTβ)βaT，而aTβ=(βTa)T=0，于是((βa)T)2=0，从而βaT的特征值λ都满足λ2=0，即βaT的特征值都为。 (Ⅲ)βaT不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βaT，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βaT的特征值，都是0，即是零矩阵。βaT相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和AT的特征向量，都不是零向量，因此βaT不是零矩阵。
解析
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考研数学三

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