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设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
admin
2020-04-21
48
问题
设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
选项
答案
因为A是正定阵,故存在正交矩阵Q,使Q
T
AQ=Q
-1
AQ=A= [*] 其中λ
i
>0(i=1,2,…,n),λ
i
是A的特征值. 因此Q
T
(A+E)Q=Q
T
AQ+Q
T
Q=A+E. 两端取行列式得|A+E|=|Q
T
||A+E||Q|=|Q
T
(A+E)Q|=|A+E|=Ⅱ(λ
i
+1). 从而|A+E|>1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xB84777K
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