设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-02-07 42

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k－1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

选项

答案设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k－1使得 λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α=0，则有A^k－1(λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α)=0，从而得到λ₀A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₀=0。类似地可以证明λ₁=λ₂=…=λ_k－1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

解析

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