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设二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX=[x1,x2,x3] 满足aii=2,AB=0,其中B=. (1)用正交变换化二次型为标准形,并求所作的正交变换; (2)求该二次型.
设二次型 f(x1,x2,x3)=XTAX=[x1,x2,x3] 满足aii=2,AB=0,其中B=. (1)用正交变换化二次型为标准形,并求所作的正交变换; (2)求该二次型.
admin
2016-01-25
35
问题
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=[x
1
,x
2
,x
3
]
满足
a
ii
=2,AB=0,其中B=
.
(1)用正交变换化二次型为标准形,并求所作的正交变换;
(2)求该二次型.
选项
答案
(1)由AB=0即知B中三个列向量均为A的属于零特征值的特征向量. 事实上,设B=[α
1
,α
2
,α
3
],则Aα
i
=0(i=1,2,3).显然α
1
,α
2
线性无关,且α
3
=α
1
+α
2
, 故λ
1
=0至少是二重特征值.又因 [*] 故λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=2.设对应于λ
3
=2的特征向量为 β
3
=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
, 则α
1
与β
3
,α
2
与β
3
正交,于是有 [*] 由[*]知,该方程组的基础解系为 [一1/2,一1/2,1]
T
. 为方便计,取β
3
=[1,1,-2]
T
. 注意到α
1
,α
2
,β
3
两两相交,只需单位化 [*] 则Q=[η
1
,η
2
,η
3
]为正交矩阵,作正交变换X=QY,则 f=X
T
AX=(QY)
T
A(QY)=Y
T
(Q
T
AQ)Y [*] [*]
解析
为解决问题(1)与(2)需先求出A的特征值、特征向量.因A为抽象矩阵,故只能由定义及其性质求之.
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考研数学三
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