证明条件极值点的必要条件(7.9)式,并说明(7.9)式的几何意义.

admin2017-07-10  31

问题 证明条件极值点的必要条件(7.9)式,并说明(7.9)式的几何意义.

选项

答案由所设条件,φ(χ,y)=0在χ=χ0的某邻域确定隐函数y=y(χ)满足y0=y(χ0),于是P00,y0)是z=f(χ,y)在条件φ(χ,y)=0下的极值点[*]=f(χ,y(χ))在χ=χ0取极值 [*]f′χ0,y0)+f′y0,y0)y′(χ0)=0. ① 又由φ(χ,y(χ))=0,两边求导得 φ′χ0,y0)+φ′y0,y0)y′(χ0)=0,解得y′(χ0)=-φ′χ0,y0)/φ′y0,y0). ② 将②式代入①式得f′χ0,y0)-f′y0,y0)φ′χ0,y0)/φ′y0,y0)=0. 因此[*] 在Oχy平面上看,φ(χ,y)=0是一条曲线,它在P00,y0)的法向量是(φ′χ(P0),φ′y(P0)),而f(χ,y)=f(χ0,y0)是一条等高线,它在P0的法向量是(f′χ(P0),f′y(P0)),(7.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(χ,y)=0与等高线f(χ,y)=f(P0)在点P0处相切.

解析
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