设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

admin2017-06-26 65

问题设α₁，α₂，…，α_k(k＜n)是Rⁿ中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α₁，α₂，…，α_k为其前k列．

选项

答案取齐次线性方程组[*]＝0的基础解系ξ₁，…，ξ_n-k，则可证明α₁，α_k，ξ₁…，ξ_n-k线性无关：设λ₁α₁＋…＋λ_kα_k＋μ₁ξ₁＋…＋μ_n-kξ_n-k＝0，两端左乘(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)^T，并利用α_i^Tξ_j＝0(i＝1，…，k；j＝1，…，n－k)，得(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)^T(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)＝0，即 ‖λ₁α₁＋…＋λ_kα_k‖²＝0，[*]λ₁α₁＋…＋λ_kα_k＝0，而α₁，…，α_k线性无关，[*]λ₁＝…＝λ_k＝0，[*]μ₁ξ₁＋…＋μ_n-kξ_n-k＝0，又ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，则μ₁＝…＝μ_n-k＝0，于是证得 α₁，…，α_k，ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，令矩阵P＝[α₁，…α_kξ₁…ξ_n-k]，则P为满秩方阵，且以α₁，…，α_k为其前k列．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

考研数学三

向量组a1，a2，…，as线性无关的充分条件是()．

设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a＞0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT，B=，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

设三阶矩阵A=，三维列向量a=(a，1，1)T．已知Aa与a线性相关，则a_________．

设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．

设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则()．

设线性方程组(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=，写出此方程组的通解.

设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)X=0的基础解系为η1，η2，则A的属于λ0的全部特征向量为()．

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()．

简述气质类型差异的教育含义。

Theinvestigation,______willsoonbepublished,wasmadebyProfessorSmith.

输卵管妊娠破裂需要鉴别的是陈旧性宫外孕需要鉴别的是

血虚生风,阴虚动风,肝阳化风,热极生风,均能见到的症状是（　　）。

血液中数量最多和最少的白细胞是()。

施工现场临时搭建的建筑物应当符合安全使用要求，施工现场使用的装配式活动房屋应当具有()。

合同风险因素，按风险的来源性质划分，包括()。

采用价格指数调整价格差额的价格调整公式方法，一般情况下适用于使用的材料()。

下列作者与诗句对应不正确的是()。

Hollywoodrackedupanother"record"yearattheboxoffice.ButthehigherticketsalesmaskfundamentalissuesintheU.S.mo

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

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向量组a1，a2，…，as线性无关的充分条件是()．

设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a＞0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT，B=，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

设三阶矩阵A=，三维列向量a=(a，1，1)T．已知Aa与a线性相关，则a_________．

设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．

设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则()．

设线性方程组(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=，写出此方程组的通解.

设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)X=0的基础解系为η1，η2，则A的属于λ0的全部特征向量为()．

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()．

简述气质类型差异的教育含义。

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血虚生风,阴虚动风,肝阳化风,热极生风,均能见到的症状是（ ）。

血液中数量最多和最少的白细胞是()。

施工现场临时搭建的建筑物应当符合安全使用要求，施工现场使用的装配式活动房屋应当具有()。

合同风险因素，按风险的来源性质划分，包括()。

采用价格指数调整价格差额的价格调整公式方法，一般情况下适用于使用的材料()。

下列作者与诗句对应不正确的是()。

Hollywoodrackedupanother"record"yearattheboxoffice.ButthehigherticketsalesmaskfundamentalissuesintheU.S.mo

血虚生风,阴虚动风,肝阳化风,热极生风,均能见到的症状是（　　）。