n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1．

admin2018-06-27 112

问题 n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1．

选项

答案记s=n-r(A)，则本题要说明两点．(1)存在AX=β的s+1个线性无关的解．(2)AX=β的s+2个解一定线性相关． (1)设ξ为(Ⅰ)的一个解，η₁，η₂，…，η_s为导出组的基础解系，则ξ不能用η₁，η₂，…，η_s线性表示，因此ξ，η₁，η₂，…，η_s线性无关．ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_s是(Ⅰ)的s+1个解，并且它们等价于ξ，η₁，η₂，…，η_s于是 r(ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_s)=r(ξ，η₁，η₂，…，η_s)=s+1，因此ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_s是(I)的s+1个线性无关的解． (2)AX=β的任何s+2个解都可用ξ，η₁，η₂，…，η_s这s+1向量线性表示，因此一定线性相关．

解析

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考研数学二

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n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1．

考研数学二

设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．(1)求a的值．(2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是

设函数f(x)在[0，π]上连续，且｜f(x)dx＝0，｜f(x)cosxdx＝0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ0)＝0．

试证明n维列向量组α1，α2，…αn线性无关的充分必要条件是

设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b—2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T，试讨论当a、b为何值时，(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；

设有3维列向量问λ取何值时：(1)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表示．

已知齐次线性方程组其中．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

对于线性方程组讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解．在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求齐次方程(ii)的解．

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求a的值；

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