设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1)； (Ⅱ)判断X，Y的独立性； (Ⅲ)已知Z=X-Y，求fz(z)．

admin2022-12-09 44

问题设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数

(Ⅰ)求P{X+Y≤1)；
(Ⅱ)判断X，Y的独立性；
(Ⅲ)已知Z=X-Y，求f_z(z)．

选项

答案[*] (Ⅱ)f_X(x)=∫_-∞^+∞f(x，y)dy，当x≤0时，f_X(x)=0；当＞x0时，f_X(x)=∫₀^xe^-xdy=xe^-x，即f_X(x)=[*] f_Y(y)=∫_-∞^+∞f(x，y)dx，当y≤0时，f_Y(y)=0；当y＞0时，f_Y(y)=∫_y^+∞e^-ydx=e^-y，即f_Y(y)=[*] 因为f(x，y)≠f_X(x)f_Y(y)，所以X，Y不相互独立． (Ⅲ)F_Z(z)=P(Z≤z)=P{X-Y≤z}=[*]f(x，y)dxdy，当z＜0时，F_Z(z)=0；当z≥0时，F_Z(z)=P{Z≤z}=1-∫_z^+∞dx∫₀^x-ze^-xdy=1-∫_x^+∞(x-z)e^-xdx =1-∫_z^+∞xe^-xdx+z∫_z^+∞e^-xdx=1+∫_z^+∞xd(e^-x)+ze^-x =1+xe^-x|_z^+∞-∫_z^+∞e^-xdx+ze^-x=1-e^-x，即F_Z(z)=[*]

解析

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考研数学三

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