已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α. ①求χTAχ的表达式. ②求作正交变换χ=Qy,把χTAχ化为标准二次型.

admin2016-07-20  33

问题 已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α.
    ①求χTAχ的表达式.
    ②求作正交变换χ=Qy,把χTAχ化为标准二次型.

选项

答案①设A=[*],则条件Aα=2α即[*] 得2a-b=2,a-c=4,b+2c=-2,解出a=b=2,c=-2. 此二次型为4χ1χ2+4χ1χ3-4χ2χ3. ②先求A特征值 |λE-A|=[*]=(λ-2)2(λ+4). 于是A的特征值就是2,2,-4. 再求单位正交特征向量组. 属于2的特征向量是(A-2E)χ=0的非零解. A-2E=[*] 得(A-2E)χ=0的同解方程组:χ1-χ2-χ3=0. 显然β1=(1,1,0)T是一个解,设第二个解为β2=(1,-1,c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!),代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1,β2.再把它们单位化:记 η1=β1/‖β1‖=[*]β1,η2=β2/‖β2‖[*]β2. 属于-4的特征向量是(A+4E)χ=0的非零解. 求出β3=(1,-1,-1)T是一个解,单位化:记 η3=β3/‖β3‖=[*]β3. 则η1,η2,η3是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,-4. 作正交矩阵Q=(η1,η2,η3),则Q-1AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,-4. 作正交变换χ=Qy,它把f(χ1,χ2,χ3)化为2y12+2y22-4y32

解析
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