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  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

admin2017-11-13  38
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．
选项
答案设有常数λ1，λ2，…，λk，使得 λ1α+λ2α+…+λkAα=0 两端左乘Ak—1，得 λ1Ak—1α+λ22Akα+…+λkA2k—2α=0 由于Akα=0，有Ak+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ1Aα=0 因为Ak—1α≠0，所以λ1=0．类似可证得λ2=λ3=…=λk=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．
解析 本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．
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考研数学一

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