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设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0. (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
设有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0. (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
admin
2018-11-21
54
问题
设有曲面S:
=1,平面∏:2x+2y+z+5=0.
(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程;
(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
选项
答案
(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程. 记S的方程为F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=[*]一1,则S上点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程为 F’
x
(M
0
)(x一x
0
)+F’
y
(M
0
)(y—y
0
)+F’(M
0
)(z—z
0
)=0, 其中,F’
x
(M
0
)=x
0
, F’
y
(M
0
)=2y
0
, F’
z
(M
0
)=[*]z
0
. 该切平面与平面∏平行←→它们的法向量共线即成比例[*]=λ,且 2x
0
+2y
0
+z
0
+5≠0. 因为M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)在S上,所以它满足方程 [*](2λ)
2
=1, 即4λ
2
=1,λ=±[*].于是,(x
0
,y
0
,z
0
)=±(1,[*],1).显然,(x
0
,y
0
,z
0
)不在平面∏上. 相应的切平面方程是 [*] 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程. (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间,故曲面S上切点到平面仃的距离最短或最长 [*] 因此,曲面S到平面仃的最短距离为d
2
=[*].
解析
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考研数学一
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