设f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3＝XTAX，其中AT＝A．又B且AB＝O．求正交矩阵Q，使得XTAX在正交变换X＝QY下化为标准二次型．

admin2017-03-06 43

问题设f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²＋2χ₂²＋χ₃²＋2aχ₁χ₂＋2bχ₁χ₃＋2cχ₂χ₃＝X^TAX，其中A^T＝A．
又B

且AB＝O．
求正交矩阵Q，使得X^TAX在正交变换X＝QY下化为标准二次型．

选项

答案A＝[*]，由AB＝O得B的列为AX＝0的解，令[*]，由Aα₁＝0α₁，Aα₂＝0α₂得λ₁＝λ₂＝0为A的特征值， α₁，α₂为λ₁＝λ₂＝0对应的线性无关的特征向量．又由λ₁＋λ₂＋λ₃＝tr(A)＝6得λ₃＝4，令α₃＝[*]为λ₃＝4对应的特征向量，由A^T＝A得[*] λ₃＝4对应的线性无关的特征向量为α₃＝[*]． [*]

解析

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考研数学二

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