设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足ebf(b)=exf(x)dx，求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=一f’(ξ)．

admin2017-10-23 29

问题设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足e^bf(b)=

e^xf(x)dx，求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=一f’(ξ)．

选项

答案存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=一f’(ο) ←→ [*]ξ∈(a，b)使得[f’(x)+f(x)]｜_x=ξ=0(e^∫dx=e^x) ←→ e^x[f’(x)+f(x)]｜_x=ξ=(e^xf(x))’｜_x=ξ=0 现引进辅助函数F(x)=e^xf(x)，它在[a，b]可导，若能在[a，b]的某区间上用罗尔定理即可得证．由已知条件及积分中值定理即知至少存在一点c∈(a，[*])使得 F(b)=e^bf(b)=[*]e^cf(c)=F(c) 所以在区间[c，b]上有F(c)=F(b)．由罗尔定理即知存在ξ∈(c，b)，使得 F’(ξ)=e^ξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0，又e^ξ≠0，所以有f(ξ)=一f’(ξ)．

解析

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