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设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足ebf(b)=exf(x)dx,求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=一f’(ξ).
设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足ebf(b)=exf(x)dx,求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=一f’(ξ).
admin
2017-10-23
54
问题
设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足e
b
f(b)=
e
x
f(x)dx,求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=一f’(ξ).
选项
答案
存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=一f’(ο) ←→ [*]ξ∈(a,b)使得[f’(x)+f(x)]|
x=ξ
=0(e
∫dx
=e
x
) ←→ e
x
[f’(x)+f(x)]|
x=ξ
=(e
x
f(x))’|
x=ξ
=0 现引进辅助函数F(x)=e
x
f(x),它在[a,b]可导,若能在[a,b]的某区间上用罗尔定理即可得证. 由已知条件及积分中值定理即知至少存在一点c∈(a,[*])使得 F(b)=e
b
f(b)=[*]e
c
f(c)=F(c) 所以在区间[c,b]上有F(c)=F(b).由罗尔定理即知存在ξ∈(c,b),使得 F’(ξ)=e
ξ
[f(ξ)+f’(ξ)]=0, 又e
ξ
≠0,所以有f(ξ)=一f’(ξ).
解析
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考研数学三
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