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设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0.令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2一1时.求函数f(x).
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0.令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2一1时.求函数f(x).
admin
2020-08-04
96
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0.令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a
2
一1时.求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt=∫
-a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt—∫
-a
x
tf(t)dt+∫
-a
-a
tf(t)dt—x∫
x
a
f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt—∫
-a
x
tf(t)dt—∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt,F’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
-a
a
f(t)dt+xf(x) =∫
-a
a
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt,因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
-a
0
f(x)dx—∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F,(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点. 故最小值为F(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
f(t)dt (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)-a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a,于是f’(x)一2xf(x)=2x解得f(x)=[∫2xe
∫-2xdx
dx+C]e
-∫-2xdx
=Ce
x
一1,在2∫
0
a
tf(t)dt=∫(a)一a
2
一1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*].
解析
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考研数学三
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