2. 考研
  3. 设f(x)为[-a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0．令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2一1时．求函数f(x)．

设f(x)为[-a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0．令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2一1时．求函数f(x)．

admin2020-08-04  101
问题 设f(x)为[-a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0．令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2一1时．求函数f(x)．
选项
答案(Ⅰ)F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt=∫-ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt=x∫-axf(t)dt—∫-axtf(t)dt+∫-a-atf(t)dt—x∫xaf(t)dt=x∫-axf(t)dt—∫-axtf(t)dt—∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt，F’(x)=∫-axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫-aaf(t)dt+xf(x) =∫-aaf(t)dt—∫xaf(t)dt，因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫-a0f(x)dx—∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F，(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点． 故最小值为F(0)=∫-aa|t|f(t)dt=2∫0af(t)dt (Ⅲ)由2∫0atf(t)dt=f(a)-a2一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x解得f(x)=[∫2xe∫-2xdxdx+C]e-∫-2xdx=Cex一1，在2∫0atf(t)dt=∫(a)一a2一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]．
解析
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考研数学三

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