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  3. 设A＝是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是 ( )

设A＝是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是 ( )

admin2019-08-09  25
问题 设A＝是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是    (    )
选项 A、ad－bc＜0．
B、b，c同号．
C、b＝c．
D、b，c异号．
答案D
解析  对(C)，当b＝c时，A是实对称矩阵，所以A～Λ，故(C)是充分条件．
由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．

对(A)，当ad－bc＜0时，由(*)式可知，(a＋d)2－4(ad－bc)＞0．
因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(A)是充分条件．
对(B)，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a－d)2＋4bc＞0．
因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(B)是充分条件．
对(D)，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a－d)2＋4bc＝0时，会有二重特征值．例：

则λ1＝λ2＝0，但r(0E－A)＝1，线性无关的特征向量只有一个，所以A不能相似于对角矩阵，故应选(D)．
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考研数学一

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