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已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵． (1)求a的值； (2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．
已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵． (1)求a的值； (2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．
admin
2017-07-10
51
问题
已知齐次线性方程组=
有非零解，且矩阵A=
是正定矩阵．
(1)求a的值；
(2)求当X
T
X=2时，X
T
AX的最大值，其中X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
∈R
3
．
选项
答案
(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1) (a一3)=0,[*]a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a=3； (2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξ
T
ξ=1)．对二次型 X
T
AX，存在正交变换X=AX，使X
T
AX[*]λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)，当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时，有X
T
AX≤10×2=20，又X
0
=[*]满足X
0
T
X
0
=2，且X
0
T
AX
0
=[*]=2ξ
T
(Aξ) =2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20，综上可知[*]=20．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zet4777K
0
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