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  3. 证明：方程xa=Inx(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

证明：方程xa=Inx(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

admin2019-01-23  44
问题 证明：方程xa=Inx(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．
选项
答案令f(x)=lnx－xα(α＜0)，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=－1＜0，[*]+∞，故任意M＞0，存在X＞1，当x＞X时，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，则f(1).f(x0)＜0，根据零点定理，至少存在ξ∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一实根． 又lnx在(0，+∞)上单调增加，因α＜0，－xα也单调增加，从而f(x)在(0，+∞)上单调增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一个实根．
解析
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考研数学一

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