已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解.

admin2016-03-02  22

问题 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解.

选项

答案据题意得,y′=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=y′+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex 则下面求微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)ex的通解 特征方程为r2+3r+2=0,求得r1=-1,r2=-2 所以y″+3y′+2y=0的通解为y=C1e-x+C2e-2x,其中C1,C2为任意常数 因λ=1不是特征方程的根,所以设y*=(Ax+B)ex为原方程 y″+3y′+2y=(3x+4)ex的一个特解,则把(y*)′=(Ax+A+B)ex, (y*)″=(Ax+2A+B)ex代入原方程,并比较系数得A=[*],B=[*] 所以微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)ex的通解为 y=C1e-x+C2e-2x+[*]ex,其中C1,C2为任意常数.

解析
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