已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．

admin2016-03-02 56

问题已知函数y=(x+1)e^x是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．

选项

答案据题意得，y′=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x f(x)=y′+2y=(x+2)e^x+2(x+1)e^x=(3x+4)e^x 则下面求微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)e^x的通解特征方程为r²+3r+2=0，求得r₁=－1，r₂=－2 所以y″+3y′+2y=0的通解为y=C₁e^－x+C₂e^－2x，其中C₁，C₂为任意常数因λ=1不是特征方程的根，所以设y^*=(Ax+B)e^x为原方程 y″+3y′+2y=(3x+4)e^x的一个特解，则把(y^*)′=(Ax+A+B)e^x， (y^*)″=(Ax+2A+B)e^x代入原方程，并比较系数得A=[*]，B=[*] 所以微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)e^x的通解为 y=C₁e^－x+C₂e^－2x+[*]e^x，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．

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