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已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解.
已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解.
admin
2016-03-02
35
问题
已知函数y=(x+1)e
x
是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解.
选项
答案
据题意得,y′=e
x
+(x+1)e
x
=(x+2)e
x
f(x)=y′+2y=(x+2)e
x
+2(x+1)e
x
=(3x+4)e
x
则下面求微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)e
x
的通解 特征方程为r
2
+3r+2=0,求得r
1
=-1,r
2
=-2 所以y″+3y′+2y=0的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
,其中C
1
,C
2
为任意常数 因λ=1不是特征方程的根,所以设y
*
=(Ax+B)e
x
为原方程 y″+3y′+2y=(3x+4)e
x
的一个特解,则把(y
*
)′=(Ax+A+B)e
x
, (y
*
)″=(Ax+2A+B)e
x
代入原方程,并比较系数得A=[*],B=[*] 所以微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)e
x
的通解为 y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+[*]e
x
,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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数学题库普高专升本分类
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数学
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