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设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且区域D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b},证明: [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx.
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且区域D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b},证明: [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx.
admin
2017-07-26
103
问题
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且区域D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b},证明:
[∫
a
b
f(x)dx]
2
(b—a)∫
a
b
f
2
(x)dx.
选项
答案
因为f(x)在区间[a,b]上连续,则[f(x)一f(y)]
2
在区域D上可积,且 0≤[*]f
2
(y)dxdy =∫
a
b
dy∫
a
b
f
2
(x)dx一2∫
a
b
f(x)dx.∫
a
b
f(y)dy+∫
a
b
dx∫
a
b
f
2
(y)dy =2(b一a)∫
a
b
f
2
(x)dx一2[∫
a
b
f(x)dx]
2
, 由此可得[∫
a
b
f(x)dx]
2
≤(b一a)∫
a
b
f
2
(x)dx.
解析
在不等式的证明中,若含有一个函数f(x)的平方f
2
(x),以及f(x)的某种表达式的平方,一般采用构造一个新的函数形式,如[f(x)一f(y)]
2
等.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/05H4777K
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考研数学三
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