2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明： [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明： [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx．

admin2017-07-26  111
问题 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明：
    [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx．
选项
答案因为f(x)在区间[a，b]上连续，则[f(x)一f(y)]2在区域D上可积，且 0≤[*]f2(y)dxdy =∫abdy∫abf2(x)dx一2∫abf(x)dx．∫abf(y)dy+∫abdx∫abf2(y)dy =2(b一a)∫abf2(x)dx一2[∫abf(x)dx]2， 由此可得[∫abf(x)dx]2≤(b一a)∫abf2(x)dx．
解析 在不等式的证明中，若含有一个函数f(x)的平方f2(x)，以及f(x)的某种表达式的平方，一般采用构造一个新的函数形式，如[f(x)一f(y)]2等．
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考研数学三

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