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设A,P均为3阶矩阵,P={γ1,γ2,γ3},其中γ1,γ2,γ3为3维列向量且线性无关,若A(γ1,γ2,γ3)=(γ3,γ2,γ1). 证明A可相似对角化。
设A,P均为3阶矩阵,P={γ1,γ2,γ3},其中γ1,γ2,γ3为3维列向量且线性无关,若A(γ1,γ2,γ3)=(γ3,γ2,γ1). 证明A可相似对角化。
admin
2022-03-23
74
问题
设A,P均为3阶矩阵,P={γ
1
,γ
2
,γ
3
},其中γ
1
,γ
2
,γ
3
为3维列向量且线性无关,若A(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=(γ
3
,γ
2
,γ
1
).
证明A可相似对角化。
选项
答案
由A(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)[*],即AP=PB,可推出P
-1
AP=B,可得A~B 对矩阵B=[*],由 |λE-B|=[*]=(λ-1)(λ
2
-1)=(λ-1)
2
(λ+1)=0 得特征值 λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=-1 当λ
1
=λ
2
=1时,由(E-B)x=0,即 [*] 解得两个线性无关的特征向量ξ
1
=(1,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
当λ
3
=-1时,由(-E-B)x=0,即 [*] 解得特征向量为ξ
3
=(1,0,-1)
T
记Q=[*],则Q
-1
BQ=[*],故B可相似对角化,[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0BR4777K
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考研数学三
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