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  3. (I)证明方程xn+xn－1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。

(I)证明方程xn+xn－1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-01-30  59
问题 (I)证明方程xn+xn－1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。
选项
答案(Ⅰ)根据题意，令 f(x)=xn+xn－1+…+x一1， 则f(1)＞0，又 [*]＜0。 结合零点定理可得，f(x)=xn+xn－1+…+x一1在([*]，1)内至少存在一个零点，即方程xn+xn－1+…+x=1在区间([*]，1)内至少有一个实根。 又因为f(x)=xn+xn－1+…+x一1在([*]，1)上是单调的，可知f(x)=xn+xn－1＋…+x一1在([*]，1)内最多只有一个零点。 综上所述，方程xn+xn－1+…+x=1在区间([*]，1)内有且仅有一个实根。 (Ⅱ)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn－1+…+xn一1=0，进而有xn＋1n+xn＋1n+…+xn＋1一1=0， 所以 xn＋1n+xn＋1n－1+…+xn＋1—1＜0，比较上面两个式子可知xn＋1＜xn，故{xn}单调递减。 又由(Ⅰ)知[*]＜Xn＜1，也即{xn}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设[*]xn=a，可知a＜x2＜x1=1。 当n→∞时， [*]
解析
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考研数学二

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