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  3. 已知连续函数f(x)满足，f(x)-∫0xf(x-t)dt-dudv=x2，其中 D={(u，v)|u2+v2≤x2}(x≥0)，则f(x)=________.

已知连续函数f(x)满足，f(x)-∫0xf(x-t)dt-dudv=x2，其中 D={(u，v)|u2+v2≤x2}(x≥0)，则f(x)=________.

admin2022-12-09  16
问题 已知连续函数f(x)满足，f(x)-∫0xf(x-t)dt-dudv=x2，其中
D={(u，v)|u2+v2≤x2}(x≥0)，则f(x)=________.
选项
答案[*]
解析 ∫0xf(x-t)dt∫0xf(u)du；
=∫02πdθ∫0xrf(x-r)dr=2π∫0xrf(x-r)dr
2π(x∫0xf(u)du-∫0xuf(x)du)，代入得
f(x)-∫0xf(u)du-2(x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du)=x2，
两边求导得
f′(x)-f(x)-2∫0xf(u)du=2x，
再求导得
f″(x)-f′(x)-2f(x)=2，
特征方程为λ2-λ-2=0，特征值为λ1=-1，λ2=2，
故通解为f(x)=C1e-x+C2e2x-1，
由f(0)=0，f′(0)=0得
故f(x)=2/3e-x+1/3e2x-1．
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考研数学三

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