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  3. 设f(x)是在(一∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程f(x)一的闭区间上至少有一个实根．

设f(x)是在(一∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程f(x)一的闭区间上至少有一个实根．

admin2017-10-23  84
问题 设f(x)是在(一∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程f(x)一的闭区间上至少有一个实根．
选项
答案[*]a∈(一∞，+∞)，考虑闭区间[a，a+[*]]，作辅助函数F(x)=f(x)一f(x一[*])，则 [*] 于是，若f(a)=(a—[*]均为方程F(x)=0的根；若f(a)≠f(a—[*]上连续，由闭区间上连续函数的零值定理知，至少存在一点ξ∈(a，a+[*]的闭区间上至少有一个实根．
解析 考虑辅助函数F(x)=f(x)一f(x一)，要证明F(x)在任意一区间[0，a+]上必有零点．
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考研数学三

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