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已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是
已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是
admin
2012-09-06
38
问题
已知β
1
，β
2
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α
1
，α
2
是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k
1
，k
2
为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+(β
1
-β
2
)/2．
B、k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)+(β
1
+β
2
)/2．
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
+β
2
)+(β
1
-β
2
)/2．
D、k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)+(β
1
-β
2
)/2．
答案
B
解析
本题考查解的性质与解的结构．从α
1
，α
2
是Ax=0的基础解系，知Ax=b的通解形式为
k
1
η
1
+k
2
η
1
+ξ,
其中，η
1
，η
2
是Ax=0的基础解系，ξ是Ax=b的解．
由解的性质知：α
1
，α
1
+α
2
，(β
1
-β
2
)/2，α
1
-α
2
,β
1
-β
2
都是Ax=0的解，(β
1
+β
2
)是Ax=b的解．
那么(A)中没有特解ξ，(C)中既没有特解ξ，且β
1
+β
2
也不是Ax=0的解．(D)中虽有特解，但
α
1
，β
1
-β
2
的线性相关性不能判定，故(A)、(C)、(D)均不正确．
唯(B)中，(β
1
-β
2
)/2是Ax=b的解，α
1
，α
1
+α
2
是Ax=0的线性无关的解，是基础解系．故应选(B)．
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考研数学三
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