2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0．1]上连续，在(0，1)内可导，且，试证(1)存在,使f(η)=η．(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1

设函数f(x)在区间[0．1]上连续，在(0，1)内可导，且，试证(1)存在,使f(η)=η．(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1

admin2016-03-26  32
问题 设函数f(x)在区间[0．1]上连续，在(0，1)内可导，且，试证(1)存在,使f(η)=η．(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
选项
答案(1)令φ(x)=f(x)一x，则φ(x)在[0，1]上连续．又φ(1)=一1＜0,[*]，由介值定理可知，存在[*]使得φ(η)=f(η)一η=0即 f(φ)=φ (2)要证／(ξ)一λ[f(ξ一ξ]=1，即要证[f’(ξ)一1]一λ[f(ξ一ξ]=0也就是要证 φ’(ξ一λξ(ξ)=0，因此构造辅助函数F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)一x]则F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故：存在ξ∈(0，η)．使得F’(ξ)=0．即e-λξ[φ’(ξ)一λφ(ξ]=0而e-λξ≠0，从而有 φ’(ξ)一λφ(ξ)=0即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
解析
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考研数学三

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