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设函数f(x)在区间[0.1]上连续,在(0,1)内可导,且,试证(1)存在,使f(η)=η.(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
设函数f(x)在区间[0.1]上连续,在(0,1)内可导,且,试证(1)存在,使f(η)=η.(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
admin
2016-03-26
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问题
设函数f(x)在区间[0.1]上连续,在(0,1)内可导,且
,试证(1)存在
,使f(η)=η.(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
选项
答案
(1)令φ(x)=f(x)一x,则φ(x)在[0,1]上连续.又φ(1)=一1<0,[*],由介值定理可知,存在[*]使得φ(η)=f(η)一η=0即 f(φ)=φ (2)要证/(ξ)一λ[f(ξ一ξ]=1,即要证[f’(ξ)一1]一λ[f(ξ一ξ]=0也就是要证 φ’(ξ一λξ(ξ)=0,因此构造辅助函数F(x)=e
-λx
φ(x)=e
-λx
[f(x)一x]则F(x)在[0,η]上满足罗尔定理的条件,故:存在ξ∈(0,η).使得F’(ξ)=0.即e
-λξ
[φ’(ξ)一λφ(ξ]=0而e
-λξ
≠0,从而有 φ’(ξ)一λφ(ξ)=0即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1
解析
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考研数学三
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