设二阶可微函数满足方程求f(x)．

admin2015-12-22 64

问题设二阶可微函数满足方程

求f(x)．

选项

答案在所给方程两边分别对x求一阶、二阶导数以建立关于f(x)的微分方程初值问题，然后再求解，得到f(x)的表示式．解在所给方程两边关于x分别求一阶和二阶导数，得到 [*] 且 f′(0)=1／2， f″(x)+f′(x)=e^x+2一f″(x)．故得微分方程的初值问题 [*] 则对应齐次方程的特征方程为λ²+λ／2=0，解得 λ₁=0， λ₂=一1／2．对应齐次方程的通解为 Y=c₁+c₂e^一x／2．令非齐次方程的一个特解为 y^*=y₁^*+y₂^*=Ax+Be^x，代入方程①得到A=2，B=1／3，故 [*] 因而，原方程的通解为 [*] 由y(0)=1，f′(0)=1／2，得到 c₁+c₂+1／3=1，一c₂／2+2+1／3=1／2，解得c₁=一3，c₂=11／3，故 [*]

解析

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