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  3. 设二阶可微函数满足方程 求f(x)．

设二阶可微函数满足方程 求f(x)．

admin2015-12-22  75
问题 设二阶可微函数满足方程
   
    求f(x)．
选项
答案在所给方程两边分别对x求一阶、二阶导数以建立关于f(x)的微分方程初值问题，然后再求解，得到f(x)的表示式． 解 在所给方程两边关于x分别求一阶和二阶导数，得到 [*] 且 f′(0)=1／2， f″(x)+f′(x)=ex+2一f″(x)． 故得微分方程的初值问题 [*] 则对应齐次方程的特征方程为λ2+λ／2=0，解得 λ1=0， λ2=一1／2． 对应齐次方程的通解为 Y=c1+c2e一x／2． 令非齐次方程的一个特解为 y*=y1*+y2*=Ax+Bex， 代入方程①得到A=2，B=1／3，故 [*] 因而，原方程的通解为 [*] 由y(0)=1，f′(0)=1／2，得到 c1+c2+1／3=1， 一c2／2+2+1／3=1／2， 解得c1=一3，c2=11／3，故 [*]
解析
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考研数学二

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