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已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]R,总存在xo∈(a,b),使等式f(b)-
admin
2011-01-28
71
问题
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f’(x)满足0<f’(x)<2且f’(x)≠1.常数c
1
为方程f(x)-x=0的实数根,常数c
2
为方程f(x)-2x=0的实数根.若对任意的闭区间[a,b]
R,总存在x
o
∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)f’(x
0
)成立.
求证:方程f(x)-x=0不存在异于c
1
的实数根;
选项
答案
假设存在实数c
0
,c
1
≠c
0
且f(c
0
)-c
0
=0. 不妨设c
0
<c
1
, 则存在c
3
∈(c
0
,c
1
), 使等式f(c
1
)-f(c
0
)=(c
1
-c
0
)f’(c
3
)成立, 即f’(c
3
)(c
1
-c
0
)=c
1
-c
0
, 即f’(c
3
)=1,这与f’(x)≠1矛盾,所以假设不成立, 故方程f(x)-x=0不存在异于c
1
的实数根.
解析
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0
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